多目标非线性规划问题的求解，无监督学习中的两个非概率模型：稀疏编码与自编码器

「无监督学习」（Unsupervised Learning）现在已经成为深度学习领域的热点。和「有监督学习」相比，这种方法的最大优势就在于其无须给系统进行明确的标注（label）也能够进行学习。最近，在德国的图宾根，机器学习夏训营（Machine Learning Summer School）正在如火如荼地进行，其中来自 CMU 的 Ruslan Salakhutdinov 教授就带来了很多关于「无监督学习」的精彩内容。今天机器之心给大家分享的正是其课件中有关「无监督学习中的非概率模型」的相关内容，主要介绍了稀疏编码（Sparse Coding）和自编码器（Autoencoder），这两种结构也是「无监督学习」的基本构件。完整课件可查看「阅读原文」PDF。

一、稀疏编码（Sparse Coding）

. 稀疏编码的概念

稀疏编码最早由 Olshausen 和 Field 于 年提出，用于解释大脑中的初期视觉处理（比如边缘检测）。

目标：给定一组输入数据向量 { x,x,...,xN }，去学习一组基字典（dictionary of bases）：

满足：

其中 ank 的值大部分都为 ，所以称为「稀疏」。每一个数据向量都由稀疏线性权值与基的组合形式来表达。

. 稀疏编码的训练

为输入图像片段；

为要学习的基字典（dictionary of bases）。

这个表达式的第一项为重构误差项；第二项为稀疏惩罚项。

交替性优化：

. 固定基字典，求解激活值 a（这是一个标准的 Lasso 问题）；

. 固定激活值 a，优化基字典（凸二次规划问题——convex QP problem）。

. 稀疏编码的测试过程

输入为一个新图像片段 x* , 和 K 个可学习的基；

输出为一个图像片段 x* 的稀疏表达 a（sparse representation）。

[, , ..., ., ..., . ..., ., ...] 为系数矩阵，也叫做特征表示（feature representation）。

下图为应用稀疏编码进行图像分类的相关实验结果，该实验是在 Caltech 物体类别数据集中完成的，并且用经典的 SVM 作为分类算法。

. 稀疏编码的相关解释

a 是稀疏，且过完备（over-complete）的表征；

编码函数 a = f(x) 是 x 的隐函数和非线性函数；

而重构（解码）函数 x&#; = g(a) 是线性且显性的。

二、自编码器（Autoencoder）

. 自编码器结构

编码器和解码器内部的详细数据信息至关重要；

. 自编码器范例

如上图所示，编码器的过滤器（filters）为 W，函数为 Sigmoid 函数，

解码器的过滤器（filters）为 D , 函数为线性回归函数。

这是一个拥有 D 个输入和 D 个输出的自编码器，并且包括 K 个隐单元（hidden units）, K<D。给定输入 x，它的重构函数为：

我们可以通过使重构误差（reconstruction error）最小化来决定网络的参数 W 和 D ：

. 其它自编码模型

如果隐蔽层（hidden layer）和输出层是线性的，它将会对隐单元（hidden units）进行学习，这些隐单元是数据的线性方程，并且可以使方差最小化。这 K 个隐单元将会像前 K 个主成分（first k principal components）一样，覆盖相同的空间。这些权重矢量可能不是正交的。

对于非线性隐单元的情况来说，我们会利用 PCA（Principal Component Analysis）的非线性泛化（nonlinear generalization）来进行处理。

和限制性玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machines）相关。

预测稀疏分解（Predictive Sparse Decomposition）：

在训练过程中：

可以看到，这种结构在解码器部分加入了稀疏惩罚项（详见以上关于稀疏编码的内容）。

. 堆叠式自编码器（Stacked Autoencoder）

这是一种「贪婪」的分层学习。如果我们去掉解码器部分，并且只使用前馈部分，会发现这是一个标准的类似于卷积神经网络的结构，参考下图。可以使用反向传播来对参数进行调校。

. 深度自编码器结构及其相关实验结果

第一行：从测试数据集中随机采样；

第二行：用 维的自编码器进行重构得到的结果；

第三行：用 维的 PCA 进行重构得到的结果。