数学精微何处寻?
纷纭世界有模型.
描摹万象得神韵，
识破玄机算古今.
岂是空文无实效，
能生妙策济苍生。
经天纬地展身手，
七十二行任纵横.
这首诗最初是我为编写的一本数学建模教材写的，放在教材正文之前.
为什么数学教材要从诗开始?《三国演义》从诗开始，《红楼梦》从诗开始，数学书为什么不能从诗开始?
这首诗的题目是《咏数学建模》，主题是讲数学怎样从现实世界中产生出来.毛泽东有篇文章，一开始就问:“人的正确思想是从哪里来的?是从天上掉下来的吗?是人的头脑里固有的吗?”数学也是人的正确思想.它不是从天上
掉下来的，也不是人的头脑里固有的.数学，归根结底是从现实世界中来的，是为了描述纷纭的现实世界中的各种现象、解决现实世界中的各种问题而产生出来的，怎样描述“万象”?最开始很可能是“描摹”，就像照相机一样将风景人物依样照下来.但现实世界的万象太复杂，难以一一描摹，即使描摹下来，也对我们没有用处，必须从复杂的不同事物中发现共同点，发现相互联系，发现藏在表面现象后面的规律，这就是神韵，就是玄机，这才产生了各门科学，包括数学在内.
抽象是数学的一个主要特征，抽象也是很多学生学习数学的主要困难和障碍.怎样解决这看起来不可调和的矛盾?基于作者对数学的理解和对学生的了解，以及多年的教学经验，认为:既然抽象就是从许多不同事物中提取的共同点，那么数学的思想方法、概念原理应当通过适当的例子来体现.这些例子既要能体现数学的本质，又要能通俗易懂、引人入胜、为学生喜闻乐见，并且还能举一反三，应用到其他看起来不相干的地方去.
基于这一认识，本书引入了大量故事和实例，来体现数学的思想，显示数学的神韵.这些实例，有些是作者本人从多年的生活和工作经历中观察总结出来的，有些是大家熟悉的老故事新故事固然给人以新鲜感受，老故事也从新的视角重新审视和处理，使读者得到新收获.百科百家、七十二行、生产生活、音乐美术、游山玩水甚至吃饭，都可以是数学的例子.诗歌、武侠、哲学，都可以是讲述数学故事和数学道理的语言，幽默的场景，诙谐的语言，
/
让你在轻松愉快的神游中领略数学的神韵，接受数学的熏陶精辟的数学思想“随风潜入夜”，不知不觉地流入读者的心灵.强大的数学方法“润物细无声”，让貌似困难的问题迎刃而解.
书中涉及的问题，表面上简单，看起来像是“山寨版”，实际上暗藏玄机，体现了最正宗的数学大道理.简单的方法最有威力，这是金庸的武侠小说《神雕侠侣》中的独孤求败留下的武功教材中阐述的道理，不妨称为“独孤求败基本定理”.将复杂转化为简单，困难转化为容易，也就是“打不赢就跑，跑到打得赢的地方再打”，仿佛是《天龙八部》中段誉的逃跑功夫“凌波微步”。既要转化，又要保持一些重要的性质不变，这就是著名数学家F克莱茵关于几何学的著名讲演“爱尔兰根纲领”中的思想.几何太灵活，不容易计算，转化为代数来计算;代数太抽象，计算太繁琐，转化为形象生动的几何模型来帮助理解.凡此种种，都体现了数学的神韵.
几何好懂不好算，代数好算不好懂.向量既是几何图形，又能进行运算，兼有几何与代数的优点，在一定程度上克服了两者的缺点，是实现几何与代数两者相互转化的最好的桥梁.实现这种转化的基本路线是:将几何图形的性质用向量运算的语言来描述，通过向量的代数运算来解决。如果还不能解决，再将向量运算通过坐标转化为实数的代数运算来解决，这就是解析几何.现在有些“改革”教材，口头上也说向量是沟通几何与代数的桥梁，却迟迟不修这座桥梁，将向量放在第四册，几乎到了必修教材的
/
最末尾，却将解析几何放在第二册，这就是铁了心拒绝通过向量这座桥梁通向解析几何，逼着学生遭受徒步涉水之苦，甚至承受淹死的危险。本书介绍了通过向量实现由几何到代数转化的一些具体实例，希望让一部分学生见识一下向量这座桥梁的威力.同时还在第四节介绍了另一方面的例子，说明几何观点也可以反过来出奇制胜地解决代数问题.
本书也讲了微积分，但不是将大学中的微积分教材照搬过来，而是用“凌波微步”的功夫重新处理，使它的形象更简明，非匀速运动用与之最接近的匀速运动来描述，曲线用与之最接近的直线来刻画，函数用与之最接近的一次函数来代替，这是微积分的主要思想，是莱布尼茨发明微积分时提出的观点.由这个观点出发，我们处理了中学物理和数学中已经提出但还不能解决的问题，或者只知其然而不知其所以然的几个问题，例如:圆锥曲线的光学性质，变速运动的速度与路程，曲线围成的面积，等等.没有学过微积分的读老可以由此入门，已经学过微积分可以从新的角度重新加以理解.
你到餐馆去，面对一份菜单，不需要将全部菜都点来品尝一遍，也不必抱怨菜单中的菜太多你不能全部吃完。只要每个顾客都能找到他喜欢的菜，就很好了。本书也是这样，不指望每个读者都学过本书涉及的全部知识。你也不必抱怨哪个地方没有学过、看不懂.事实上，哪怕是上过大学甚至读过研究生的读者也未必学过书中的全部知识，例如书中所介绍的正边形尺规作图的理论和作法，涉及抽象代数中的伽罗瓦理论，除了代数专业的研究生外，大
/
多数读者就没学过.但是，没学过并不意味着读不懂，学过也不意味着懂了.本书强调的是数学思想而不是具体算法，但同时也强调数学思想不是空的，所要讲的数学思想都通过具体实例(包括具体算法)来体现.因此，不必为-你有多少知识不懂而颓丧，只要你有收获，就值得高兴.不同文化层次的读者都可以从本书中得到收获，对数学的思想有所体会.学过小学算术的读者，就可以读懂前两章的前几节的内容并从中有所收获.学过高中数学的读者已经具备足够的知识读懂本书的大部分内容.有些内容你学过。但本书中利用这些知识来解决问题的例子也可以让你耳目一新，而且你可能发现本书中的叙述与你所学的书本上的叙述不一样.叙述虽然不一样，只要都是对的，就应当相互不冲突，相信本书的叙述可以帮助你对以前学的东西加深理解，将以前令你讨厌的东西变得可爱，以前觉得无用的变得有用，你会更善于用它们来解决各种问题--包括实际生活中的问题和考试中遇到的问题.有些内容你以前没学过，或者没学好，或者以后才学，你可以通过本书先学一遍或者再学一遍，首先体会它的总体思想，在思想的指导下再去学它的具体操作和应用.这就是本书希望达到的目的.当然，我知道，不可能在所有读者身上都达到这个目的，但至少应当能够在大部分读者身上达到.我们希望这部分读者越多越好
李尚志
年 月
/
第章
简单见神韵
你会算吗?
算，是很多人都知道的一种用扑克牌玩的游戏。每张牌代表一个正整数为简单起见，可以将JQ，K及“大小王”去掉，并约定 A代表.参加游戏的个人每人出张牌张牌就代表了个正整数.个人就开始竞争，看谁最先将这个正整数通过加减乘除算出来，而且每个整数恰好用次。所用的数学知识虽然只是简单的算术，但要算得又快又正确也不容易，并且还有很多难题出现。
【例】试将以下每组个整数通过加减乘、除算出，使每个数恰好用次。
()，，，.()，，，.
()，，，.()，，，.
算虽然简单。但这几个题并不容易算。也许，经过努力之后你仍然算不出来，于是你相信它们都是不可能算出的。
算不出来的情况确实有。例如，，，，肯定算不出来.有人也许会说他算出来了:(+++)!=!=.不过，这不符合“将个正整数通过加、减、乘、除算出”的规则.
类似地，将，，，通过乘方运算
x－⁵=算出，或
图一
图二
第章 /
算本来不是什么难题，但是，很多人有一个思维定式:既然开始的个数是整数，算出的结果也是整数，中间的结果也就必须是整数.其实，规则并不禁止中间过程出现分数，只要打破这个定式，就不难凑出以上难题的答案。不过，按照我们上面的思路，利用运算律进行恒等变形，更加简单自然，因而也更精彩。
中国民间流传很多有趣的算术题。比如，下面就是一个:
【例】 个人吃个馒头，其中大人每人吃个，小孩每人吃个。大人、小孩各多少个?
分析与解答：如果用算术方法解，可以考虑下面的解法:
先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是.很容易凑出一个满足这个条件的方案:让个大人与个小孩同在一桌，共是个人，吃个馒头，人数与馒头数相等。假定摆很多桌子，每张桌子都同样坐个大人个小孩，个人吃个馒头，则所有桌子的总人数与总的馒头数由人和个馒头同时扩大相同的倍数，得到人数与馒头数相等.只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到，则所吃的馒头数也达到.每桌人，人就需要÷= 桌。桌就是个大人，个小孩.
【例】 条鱼斤，大鱼每条斤，中鱼每条斤，小鱼每条两，大、中、小鱼各多少条?
话说斤两
斤、两是在推行公制单位之前中国使用的度量单位，斤等于两，两就是(/)斤。关于斤与两，有些故事值得在这里讲一讲。
/
Go to Educatonal Matheuuttes
我读过一本书，说的是古代帝王之谜。其中说到秦始皇靠暴力推行的东西都经受不起历史的考验，没有流传下来，并且举了“斤=两”作为没有留传下来的例子。我没有去考证“斤=两”是秦始皇规定的还是更早的时候就有的。但不用考证，我就知道“斤=两”直到世纪年代还在使用，那时我在读小学。那时的会计在进行斤两的单位换算时还需要背熟“一退六二五，二一二五，三一八七五，……”之类的口诀。“一退六二五”就是“两=.斤”。“二一二五”就是“两=.斤”……。我父亲是会计，在我小时候也教我背过这些口诀。后来改成“斤=两”，再后来直接用克、千克这些国际通用单位，这些口诀似乎都没有用了。但这些口诀使我背熟了分母为以至于分母为，，的分数展开成的小数:/=.，/=/=.，…，直到现在对我还很有用。
“斤=两”从秦始皇时代(或者更早)使用到世纪年代，长达多年时间，怎么能说没有流传下来呢?这只能说明书的作者太无知，也太狂妄。自己不懂的东西不去学习了解一下，就妄发议论，自以为是天下第一，可以骂遍古今中外的人。
“斤=两”使用了多年，也渗透到中国文化中去了.还产生了一个成语:“半斤八两”。按照“斤=两”，当然就有“半斤=八两”。“半斤八两”就是形容两件事相等，分不出谁多谁少，谁好谁坏，谁对谁错。要是按后来的“斤=两”的度量制度，那就是“半斤<八两”了，现在民间就流行一个新的说法“能喝半斤喝八两”，借用“半斤<八两”来形容某人喝酒超过了自己的能力。
世纪年代末期“斤=两”被废止不用，改为“斤=两”，这是为了与十进位制相协调，使单位换算更容易掌握，减少广大群众学习和使用的困难。但从数学上说，十六进位制不见得比十进位制更差.至少它有一个优点:半斤=两，是整数；半斤的一半=两，仍是整数；半斤的一半的一半=两，再求一半是两，也都是整数.我们现在很崇拜二进位制，很为老祖宗的易经和八卦中的
/
二进位制萌芽感到自豪。十六进位制其实也是二进位制的范畴，是四位的二进制数，为什么就不感到自豪而要说是暴力的产物呢?
另外的进位制，例如量时间和角度采用六十进位制:小时=分，分=秒、它有一个优点:小时的/，/，/，/，/
分别是
分，分， 分，分，分，都是整数.
而十进位制其实并没有什么特别的道理，只不过因为我们长了个手指，人类最开始借助于手指来数数而已。但既然计数已经采用了十进位制，如果其他度量采用其他进位制，换算起来就不方便，因此尽量全部统一为十进位制确实有好处。螃蟹有只脚，假如也进化成智能生物，发明出数学来，很可能就采用八进位制，比人类的十进位制还更先进一些.
对百鱼百斤问题的分析
条大鱼斤，条数小于斤数；条中鱼斤，条数等于斤数；条小鱼斤，条数大于斤数。仿照例的方法，先将大鱼与小鱼配成“一桌”，让它们的条数与斤数相等，再同时扩大若干倍，条数与斤数就仍然相等。或者同时增加若干条中鱼，条数与斤数仍然保持相等，就可能凑出条鱼斤了.
试将条大鱼与条小鱼配成一“桌”，看它们的总条数与总斤数是否相等?结果发现:条数=+=，斤数=+=.条数大于斤数，二者不相等.
为什么不相等?条大鱼斤，斤数比条数多；条小鱼斤，斤数比条数少.将“多”与“少”配在一起，当然不能完全抵消，必然是条数比斤数多。要让它们相互抵消，应当将“多”与“少”分别扩大若干倍，使多的与少的正好相互抵消.
于是得到下面的解法:
解 大鱼:(条斤)斤数条数=+×→+(条斤)
小鱼:(条斤)斤数-条数=-×→-(条斤)
条大鱼，条小鱼。共+=条，x+÷=斤.
/
走进教育数学 数学的神韵
Go to Educational Mathematics
再补充中鱼-=条，就得到问题的正确答案:
大鱼条，中鱼条，小鱼条.
例的思路:要同时满足条件“人数=馒头数=”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求.相等之后再同时扩大到.
例的思路:要同时满足条件“条数=斤数=”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求.相等之后再同时增加到.
显然，两个题的思路有共同点:①将困难问题变得容易；②将容易问题的答案变成困难问题的答案。
其实，这也是前一节算的思路.
【例】 (幻方)试将前个正整数，，…，按适当顺序填入x的方格表中，使每行、每列、每条对角线上的个数之和都取同一个值.
分析：填这个数使个和相等，太困难。我们将它分解变简单:先不要求填个不同的数~使个和相等，只要求在每行填，，这个不同的数使个和相等，得到，，组成的幻方.再用两个~幻方组合出~幻方。
解 先在每行都填入，，三个数，使每行、每列、每条对角线上的个数之和都等于，得到两个表。将第一个表中所有的数乘，再与第二个表相加，得到的表中的个和仍相等。也就是得到了~组成的幻方。再将各数同加得到所求幻方。
